Ana Belén de Felipe Paramio

Nombre
Ana Belén de Felipe Paramio

Título de la tesis
Estructura de las valoraciones en superficies singulares

Director de la tesis
Bernard Teissier (Institut de Mathématiques de Jussieu. París)
Evelia R. García Barroso (Universidad de La Laguna)

Centro
Dpto. Matemática Fundamental, Universidad de La Laguna

Resumen del trabajo que realiza
Nuestro trabajo se enmarca dentro de la Geometría Algebraica que, en el caso más sencillo, se ocupa del estudio del conjunto de todos los puntos del espacio que satisfacen a la vez una o varias ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, podríamos definir una esfera en el espacio tridimensional como todos los puntos de coordenadas reales (x,y,z) que verifican la relación x2+y2+z2-1=0.
Más concretamente, la investigación que realizamos se encuentra dentro de la Teoría de Singularidades de superficies. Localmente, todos los puntos de la esfera son iguales (si hacemos zoom en un punto cualquiera tendremos la impresión de estar en un trozo de un plano). Sin embargo no pasa lo mismo, por ejemplo, con los extremos de un limón: http://medien.imaginary2008.de/bild-zitrus.jpg; o con el punto que se crea donde se unen nuestros dedos si pellizcamos una hoja de papel: http://medien.imaginary2008.de/bild-sofa.jpg. Este tipo de puntos, que llamamos singulares, aparecen inevitablemente en el estudio de funciones, de familias de espacios o de ecuaciones diferenciales; y son el objeto de estudio de la Teoría de Singularidades (por ejemplo, nos interesamos en cómo hacer que, de aparecer, sean lo más sencillos posibles).
Fijemos una superficie algebraica compleja S, esto es, S es una superficie que vive dentro de un espacio donde los puntos tienen como coordenadas números complejos y viene definida por un sistema de ecuaciones polinomiales. A cada punto x de S podemos asociarle un espacio Vx (concretamente, el espacio formado por todas las valoraciones del cuerpo de funciones racionales de S que están centradas en x). La estructura geométrica de Vx, cuando x no es un punto singular de S, ha sido objeto de estudio durante los últimos diez años y su comprensión ha dado lugar a resultados importantes en otras áreas de las matemáticas como el Análisis Complejo y la Dinámica Compleja.
Pero, ¿qué ocurre cuando el punto x es un punto singular de S? ¿Qué estructura geométrica tiene el espacio de valoraciones Vx? ¿Podemos relacionar algunas de sus propiedades con el tipo de singularidad? Nuestro objetivo es dar respuesta a estas y otras preguntas, empezando por el caso de las singularidades llamadas normales.

¿Para qué sirve su trabajo?
Mi trabajo, como cualquier otro de investigación básica, contribuye a la ampliación del conocimiento científico sin el que la investigación aplicada sería imposible. Dejando a un lado las implicaciones que mi área tiene en otras áreas de la Matemática, técnicas propias de la Geometría Algebraica se aplican actualmente en criptografía, códigos correctores de errores, robótica, teoría de control o clasificación filogenética. Estaríamos cerrando la puerta a posibles aplicaciones directas y probablemente también a avances en otras ciencias que se apoyan fuertemente en las matemáticas, como por ejemplo la Física.
Por otra parte, mi tesis doctoral se enmarca en un acuerdo internacional de cotutela de tesis firmado con la Universidad Paris Diderot – Paris 7 (Francia), que contribuye a la consolidación de las relaciones internacionales de la Universidad de La Laguna.

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